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一、重力二阶效应的应用
房屋建筑结构从整体上看是一根底部嵌固的悬臂结构。悬臂结构在水平荷载（风、地震）作用下会产生水平位移△，结构竖向荷载P在水平位移下会产生额外的附加弯矩△M=P*△，附加弯矩又会产生额外的水平位移，从而导致另一个附加弯矩。在不考虑结构刚度变化的情况下，水平位移会最终收敛，由其产生的附加弯矩会导致结构内力的增大。对于大多数工程，只考虑一阶变形产生的附加弯矩就能满足计算精度要求，考虑附加弯矩后构件内力会增大，这一非线性效应就是P-△效应，也就是大家常说的重力二阶效应。随着结构高度的增加、楼层刚度的减小，P-△效应会越来越显著。相比砼结构，高层钢结构刚度相对较小，因此P-△效应更为突出。《高钢规》要求高层民用建筑钢结构进行弹性分析时，要考虑重力二阶效应的影响。
考虑重力二阶效应主要有三种方法：1、弹性计算中不考虑P-△效应，在一阶弹性结果的基础上对位移、内力进行放大（砼结构）；2、在一阶弹性计算的基础上考虑计算长度系数（钢结构）；3、在有限元计算中真实考虑几何非线性（大变形效应）、刚度非线性（考虑轴力对刚度影响），通过多次迭代计算得到最终的位移、内力。对于一般的房建结构，水平荷载下位移相对较小，由其产生的附加弯矩几乎不会引起构件轴力的改变，因此软件常忽略大变形效应，只在计算前根据重力荷载代表值下各构件轴力对结构刚度进行修正，并以修正后的刚度进行弹性计算。
二、重力二阶效应
YJK采用调整刚度的方法考虑P-△效应，压力减小刚度，拉力增大刚度。用户勾选“考虑P-△效应“后，要指定调整刚度用的荷载（一般是重力荷载代表值），程序先计算用户指定荷载下的构件内力，然后根据轴力调整构件刚度，最后使用调整后的刚度进行后续弹性分析。软件使用刚度折减后计算的位移和折减前刚度反算构件内力，这个内力包含了整体的P-△效应。
《钢标》要求考虑P-△效应的二阶弹性分析时应该同时考虑初始几何缺陷和残余应力影响，并且计算构件稳定时，计算长度系数可取1或其他认可的值。考虑P-△效应时，一般要同时考虑整体结构的初始缺陷，此时计算长度系数可以设置为1。
是否考虑P-△效应对计算结果有影响，但影响不应太大。
考虑P-△效应的模型自振周期比普通模型大，并且风载、地震作用下的水平位移均有一定程度的增大（5%以内），说明结构整体刚度有所减弱。
|
振型号 |
普通模型 |
考虑P-△效应 |
误差 |
|
1 |
2.6948 |
2.7697 |
2.78% |
|
2 |
2.0262 |
2.0568 |
1.51% |
|
3 |
1.6643 |
1.6812 |
1.02% |
|
4 |
0.7771 |
0.7879 |
1.39% |
|
5 |
0.5887 |
0.5940 |
0.90% |
对比3层角柱和中柱的内力，考虑P-△效应时，构件在水平荷载下的内力均有所增大。下图中左侧为普通模型结果，右侧为考虑P-△效应的模型结果。
《钢标》规定二阶效应系数
（规则框架结构），
（一般结构），θ>0.1时宜采用二阶弹性分析，θ>0.25时应增大结构的侧向刚度或采用直接分析。对于钢框架结构，软件在wmass.out中输出二阶效应系数，供用户判断是否需要考虑重力二阶效应。对于其他类型，用户需要进行屈曲分析，并取第1阶屈曲因子计算二阶效应系数（可取ηcr=第1阶屈曲因子）。
三、初始缺陷
钢结构构件在制作、安装过程中会存在材料不均匀、残余应力、安装偏差等初始缺陷。《钢规》讨论稿要求考虑P-△效应的二阶弹性分析应考虑结构整体的初始缺陷。规定钢结构在计算中要考虑初始缺陷的影响。初始缺陷的位移模式可取第1阶屈曲分析的变形方式，最大缺陷代表值可取H/250（H为建筑总高度），也可以由用户通过施加假想水平力自行计算得出。软件通过改变节点的初始位置来考虑结构整体的初始缺陷。用户勾选“钢结构按屈曲分析模态考虑结构整体缺陷“后，软件同时进行屈曲分析，且考虑“计算长度系数设为1″的选项（此时要保证计算考虑P-△效应）。
四、屈曲分析反算柱长度系数
跃层柱是跨越多层的柱子，在跨越楼层处通常没有梁作为侧向支撑。相比其他柱子，跃层柱因为计算长度大、侧向约束弱，在设计中要尤为重视。计算长度系数的确定一直是跃层柱设计的重点，用户可以通过屈曲分析反算跃层柱的计算长度系数。
由欧拉临界力
可以推导出
，只要求得Pcr就能反算计算长度系数。
下面以一个工程为例说明跃层柱的计算长度如何确定。
此工程为一个双塔大底盘商业，高105m，首层有2颗跃层边柱，以边柱A为例确定计算长度系数。
在前处理设置考虑重力荷载代表值下的屈曲分析，计算前10阶屈曲。
屈曲模态反应结构失稳的模式。查看屈曲模态，第1、3阶分别为柱A沿2个方向弯曲变形占主导的模态。
查询边柱A在屈曲分析荷载（1D 0.5L）下的轴力。N=14767 2880*0.5=16207kN
第1阶屈曲因子为80.075，第3阶屈曲因子为82.801，则
Pcr1=16207*80.075=1297776kN；Pcr2=16207*82.801=1341956kN
跃层柱长12m，尺寸为1200×1200，C60砼。则EI=36000*1/12*1200^4=6.221e15N*mm²
，
μ1、μ2就是跃层边柱A绕两个方向弯曲的计算长度系数。
如果跃层柱相对较刚，前几阶屈曲分析没有激发起跃层柱的变形，则需要人为在分析柱上施加自定义荷载，然后进行自定荷载下的屈曲分析。
自定义荷载下的屈曲分析很容易激发跃层柱的变形。
查询边柱A在屈曲分析荷载（自定义工况）下的轴力。N=875.3kN
Pcr1=875.3*1464.333=1281702kN；Pcr2=875.3*1496.488=1309876kN
跃层柱长12m，尺寸为1200×1200，C60砼。则EI=36000*1/12*1200^4=6.221e15N*mm²
μ1、μ2与用重力荷载代表值反算的计算长度系数接近。
五、由于考虑重力二阶效应导致计算不过的常见问题
YJK采用调整刚度的方法考虑P-△效应，压力减小刚度，拉力增大刚度。用户勾选“考
由于考虑重力二阶效导致计算不过，这是软件结构计算的一个常见问题。
YJK软件中采用准确地叠加三维框架单元及墙元几何刚度的方法来考虑重力二阶效应。计算几何刚度所使用的荷载由参数中指定的荷载组合计算得到。
考虑重力二阶效应时，常见的计算失败的现象为某自由度缺少约束。这种情况在跃层柱等情况下更为突出，一般原因为某单元的内力过大导致负的几何刚度数值超过了单元本身刚度，引起总刚不正定。
排查流程为：
参数中不考虑重力二阶效应进行计算，看是否计算通过。排除结构本身的问题。
通过荷载简图、平面导荷简图或者（1）中模型的内力等方法，检查相应位置构件内力是否正常，是否存在异常大的错误荷载等情况。
如果荷载正常，手工检查或者通过（1）中模型设计结果，检查构件截面是否偏小。
通过上述流程，一般都可以解决因重力二阶效应引起的计算失败问题。
下面举例介绍。
1、典型例题：某仓库重力二阶效应计算失败
某仓库模型，考虑重力二阶效应时计算失败。
2、问题排查
本工程中典型结构为跃层柱，如下图所示，跃层柱的中间节点提示缺少约束。
经查，不考虑重力二阶效应时，计算通过。结构荷载无异常。不考虑重力二阶效应的模型中，大量构件稳定验算及长细比超限，可见构件截面本身偏小，应该增大构件截面。
需要注意的是，如果本模型没有采用跃层柱方式建模，考虑重力二阶效应计算没有错误，这只是因为没有跃柱中间节点，其对应节点处由于存在梁等其他构件的刚度贡献，使得现象未显露。但是该构件的设计验算结果依然是超限的，如下图所示。
六、结论
随着高层结构（尤其是高层钢结构）的普及，越来越多的工程需要考虑重力二阶效应。YJK使用刚度折减的方法考虑P-△效应，并能按照《钢标》的要求，使用第1阶屈曲模态在计算中考虑结构整体的初始缺陷，此时计算长度系数可以设为1。此外，用户可以借助屈曲分析计算跃层柱的计算长度系数。
对于钢框架结构，软件在wmass.out中输出二阶效应系数，供用户判断是否需要考虑重力二阶效应。对于其他类型的钢结构，用户需要通过计算第1阶屈曲因子判断是否考虑重力二阶效应。需要注意的是，设计完善的建筑不应有明显的P-△效应，如果考虑P-△效应前后，结构在同一个侧向荷载工况的位移相差超过5%，则基本可以判定结构刚度过柔，建议考虑重新设计。
Author: Taochun Yang
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