众所周知，有限元分析中单元设置不当会造成计算的误差，其中最常见的就是剪力锁死和沙漏效应。下面就这剪力自锁和沙漏效应来讨论下有限元仿真分析误差的来源。
一、高斯积分
要搞清楚沙漏效应和剪力自锁，先从单元平衡方程说起。我们知道有限元的单元平衡方程是通过最小势能原理推出来的。最小势能原理长这个样子。
看着好简单，但简单的公式往往蕴含着极深刻的道理。这个公式在说平衡状态的位移场，使得总势能取极值。总势能包括应变能和外力势能，这样公式就变成这样。
从表达式来看，应变能：
体积力势能：
面力势能：
发现这些都需要求积分。对计算机来说，求积分是困难的，但求和就很方便。于是工程师就开始找数学工具，就找到了高斯积分。高斯在几百年前，就发现一个定积分可以近似等于多项式求和，高斯积分公式如下所示。
其中：
叫做高斯积分权；
叫高斯积分点。
二、剪力自锁下一个概念完全积分，就是高斯积分点的个数可以对单元的刚度矩阵可以精确积分，其中一次单元每个方向两个，二次单元每个方向三个。示意图如下。
对于受弯载荷单元，单元变形应该如下所示。
完全积分的一次单元由于一次单元无法模拟弯曲，导致单元的刚度变大，示意图如下。
如图所示，在积分点处水平虚线和竖直虚线的夹角不再为90度，这样剪应变就产生了。可能会导致计算结果不可信。
1、算例演示给出一个悬臂梁例的算例，如下所示。
通过材料力学，我们知道悬臂梁端部的位移为：
利用workbench来仿真，看看剪力自锁到底会带来什么样的误差？workbench中单元属性一般是自动赋予的，大家可能不知道怎么设置单元属性，首先设置完全积分，要在Gemetry中将Element control设置成manual，如下所示。
这个时候才可以对模型进行单元属性设置，找到相关模型中Brick Integration scheme设置成Full，如下图所示。
这是对完全积分设置，下面对一次单元进行设置，在mesh中将Element Midside Nodes改成Drop就是一次单元了，如下所示。
计算得到结果如下
端部位移为0.93mm，误差达到了70%，是不可接受的。在将网格细化后，再计算，结果如下。
端部位移为0.0015mm，误差为50%。将一次单元变为二次单元，用同样的网格条件，看看计算结果，如下。
计算结果为3mm，误差3%，可以接受。
将应变在不同的单元提取出来，一次单元的应变情况如下。
看剪应变的绝对值，即0.0007。二次单元的应变情况如下。
看剪应变的绝对值，即
看到在完全积分时，一次单元产生了较大的剪应变，即发生了剪力自锁现象。当然剪力自锁不一定对计算结果产生那么大影响，我们细化网格再计算，结果如下。
计算结果为2.85mm，误差8%，还是可以接受的。
2、剪力自锁结论
1）受弯曲载荷时，采用完全积分的一次单元，会产生剪力自锁，对计算精度产生影响；采用完全积分的二次单元，则不会产生剪力自锁，计算精度高。
2）网格细化，降低网格长细比，可以提高计算精度，降低剪力自锁带来的影响。
三、沙漏效应
1、模态计算
不知道大家在做模态分析时，会不会遇到这样的情况。
以前文中悬臂梁的例子，从图中可以看出一阶固有频率只有6.8Hz，这个结果可信吗？我们验证下，固有频率的计算公式如下。
K 是模态刚度， M 是模态质量。
这两个参数好像都不会计算，不着急，先计算刚度。对图中振型进行观察，发现第一阶固有频率是整体表现的起伏。那我们就可以通过挠度来计算，悬臂梁的挠度计算公式，大家没忘吧。
把这个公式变形下，公式如下所示。
那么模态刚度 :
计算得到刚度:
还有质量呢？我们还是观察振型，发现这个振型几乎是整个模型参与的，那么就认为这阶模态质量就是整个模型的质量:
代入公式1中，得到一阶固有频率为 :
这个和仿真的数值差太远，为什么会这样呢？
从单元设置上，我将单元设置为减缩积分的一次单元，会不会跟这个有关呢？
2、减缩积分
上篇文章中讨论了完全积分，这次说下减缩积分。减缩积分比完全积分在每个方向上少用一个积分点，那么减速积分状态下的一次单元和二次单元积分点的分布，如下所示。
这样当单元受弯时，就会产生这样的情况，如下所示。
这样中间的横线，实际上既没有伸长，也没有缩短，所以单元没有产生正应力。此外，横线和竖线的夹角也没有发生变化，所以单元也没有产生剪应力。单元什么应力也没有，所以单元不能承受任何载荷，即刚度为零。这就是沙漏效应。
3、案例演示
把一次单元换成二次单元，在计算下模态。
仿真得到结果为91.2Hz。同理论计算值相比，只有0.6%的误差。
减缩积分的二次单元是不是就不存在沙漏现象呢？如果把网格化的粗一些，计算结果变成如图所示。
一阶固有频率变成0Hz，不光是一阶固有频率，其他阶的也都变成0或者很小的数值，如下所示。
为什么会这样呢？实际上跟单元的长细比有关，如果单元特别细长，积分点就会非常接近，极限情况两条积分线重合在一起。如下所示。
我们看变形后的单元形状，二次单元可以弯曲，那么竖线和横线的夹角是90度，所以单元没有剪应力。单元特别细长，横线基本位于中性层，那么它也不会伸长或缩短，所以没有正应力。那么沙漏效应又产生了。
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沙漏效应总结
（1）在减缩积分情况下，不管是一次单元还是二次单元，都有可能产生沙漏效应。要消除沙漏效应，就要提高网格质量，减小网格的长细比。
（2）减缩积分可以有效的排除剪力自锁的影响，不会产生刚度过大的情况。
Author: Taochun Yang
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